• 已知函数f(x)=lnx-x+ax2.(I)试确定实数a的取值范围,使得函数f(x)在定义域内是单调函数;(II)证明:>.试题及答案-单选题-云返教育

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      已知函数f(x)=lnx-x+ax2
      (I)试确定实数a的取值范围,使得函数f(x)在定义域内是单调函数;
      (II)证明:

      试题解答


      见解析
      定义域为(0,+∞).f′(x)==
      令g(x)=2ax
      2-x+1,
      ∵g(0)=1,∴g(x)≥0对x∈(0,+∞)恒成立.即
      对x∈∈(0,+∞)恒成立.
      令h(x)=
      =-=-
      ∴a???
      ,此时f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.
      (Ⅱ)证明:取a=1,由(Ⅰ)知此时f(x)在(0,1)上为单调递增函数.
      ∵f(1)=0,∴f(x)<0对x∈(0,1)恒成立,即x-lnx>x
      2
      取x=
      ,∵∈(0,1),∴
      ==-=
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