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  • 设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．
      （Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
      （Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
      （Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈[-1，0]，使得不等式f（k-cosx）≥f（k      2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．

      试题解答

      见解析
      （Ⅰ）【解析】
      当a=1时，f（x）=-x（x-1）      2=-x3+2x2-x，得f（2）=-2，且f'（x）=-3x2+4x-1，f'（2）=-5．
      所以，曲线y=-x（x-1）      2在点（2，-2）处的切线方程是y+2=-5（x-2），整理得5x+y-8=0．

      （Ⅱ）【解析】
      f（x）=-x（x-a）      2=-x3+2ax2-a2xf'（x）=-3x2+4ax-a2=-（3x-a）（x-a）．
      令f'（x）=0，解得      或x=a．
      由于a≠0，以下分两种情况讨论．
      （1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

      因此，函数f（x）在      处取得极小值，且；
      函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．
      （2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：

      因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；
      函数f（x）在      处取得极大值，且．

      （Ⅲ）证明：由a＞3，得      ，当k∈[-1，0]时，k-cosx≤1，k2-cos2x≤1．
      由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是减函数，要使f（k-cosx）≥f（k      2-cos2x），x∈R
      只要k-cosx≤k      2-cos2x（x∈R）
      即cos      2x-cosx≤k2-k（x∈R）①
      设      ，则函数g（x）在R上的最大值为2．
      要使①式恒成立，必须k      2-k≥2，即k≥2或k≤-1．
      所以，在区间[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k      2-cos2x）对任意的x∈R恒成立．
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