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  • 在数学中，等与不等是相对的，例如“当a≤b且a≥b时，我们就可以得到a=b”．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且满足f（-1）=0，对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(x+12)2．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）求证：a＞0，c＞0；（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      在数学中，等与不等是相对的，例如“当a≤b且a≥b时，我们就可以得到a=b”．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且满足f（-1）=0，对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(
      x+1
      2
      )2．
      （Ⅰ）求f（1）的值；
      （Ⅱ）求证：a＞0，c＞0；
      （Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      （I）解：∵对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(
      x+1
      2
      )2．
      ∴f（1）≥1，f（1）≤(
      1+1
      2
      )2=1．
      ∴f（1）=1．
      （II）证明：由
      {
      f(-1)=0
      f(1)=1
      可得
      {
      a-b+c=0
      a+b+c=1
      ，∴b=a+c=
      1
      2
      ．
      对于任意实数x都有f（x）-x≥0，即ax      2+（b-1）x+c≥0，
      ∴ax      2-
      1
      2
      x+c≥0，∴
      {
      a＞0
      △=
      1
      4
      -4ac≤0
      ，
      ∴a＞0，ac≥
      1
      16
      ，∴a＞0，c＞0．
      （III）∵
      1
      2
      =a+c≥2
      √ac
      ≥2
      √
      1
      16
      =
      1
      2
      ，∴a=c=
      1
      4
      ．
      ∴f（x）=
      1
      4
      x2+
      1
      2
      x+
      1
      4
      ，
      ∴g（x）=f（x）-mx=
      1
      4
      x2+(
      1
      2
      -m)x+
      1
      4
      ，
      ∴g（x）=
      1
      4
      [x2+(2-4m)x+1]．
      又∵当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，
      ∴|
      2-4m
      2
      |≥1，解得m≥1或m≤0．
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