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  • 已知函数f(x)=2acos2x-2√3asinxcosx+b的定义域为R，且b≤2．又{y|y=f(x)，x∈[0，π2] }=[1，4]．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的对称轴方程；（3）求函数y=log2[f（x）-3]的单调增区间．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=2acos2x-2
      √3
      asinxcosx+b的定义域为R，且b≤2．又{y|y=f(x)，x∈[0，
      π
      2
      ] }=[1，4]．
      （1）求a，b的值；
      （2）求函数f（x）的对称轴方程；
      （3）求函数y=log      2[f（x）-3]的单调增区间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f(x)=2acos2x-2
      √3
      asinxcosx+b=acos2x+a-
      √3
      asin2x+b=2acos（2x+
      π
      3
      ）+b+a，
      ∵0≤x≤
      π
      2
      ，∴
      π
      3
      ≤2x+
      π
      3
      ≤
      4π
      3
      ，∴-1≤cos2x≤
      1
      2
      ．
      当a＞0时，-a+b≤f（x）≤2a+b，又{y|y=f(x)，x∈[0，
      π
      2
      ] }=[1，4]，
      ∴
      {
      -a+b=1
      2a+b=4
      b≤2
      ，解得
      {
      a=1
      b=2
      ．
      当a＜0时，2a+b≤f（x）≤-a+b，又{y|y=f(x)，x∈[0，
      π
      2
      ] }=[1，4]，
      ∴
      {
      -a+b=4
      2a+b=1
      b≤2
      ，解得
      {
      a=-1
      b=3
      （舍去）．
      （2）由（1）可得函数f（x）=2cos（2x+
      π
      3
      ）+3．
      由2x+
      π
      3
      =kπ，可得 x=
      kπ
      2
      -
      π
      6
      ，k∈z，
      故函数f（x）的对称轴方程为 x=
      kπ
      2
      -
      π
      6
      ，k∈z．
      （3）由函数y=log      2[f（x）-3]，可得f（x）＞3，即cos（2x+
      π
      3
      ）＞0，故有2kπ-
      π
      2
      ≤2x+
      π
      3
      ≤2kπ+
      π
      2
      ，
      解得kπ-
      5π
      12
      ＜x＜kπ+
      π
      12
      ，k∈z，
      故函数的定义域为（kπ-
      5π
      12
      ，kπ+
      π
      12
      ），k∈z．
      根据复合函数的单调性，本题即求函数f（x）在定义域内的单调增区间，结合余弦函数的图象可得，
      f（x）在定义域内的单调增区间为[kπ-
      5π
      12
      ，kπ-
      π
      6
      ），k∈z，
      即 函数y=log      2[f（x）-3]的单调增区间为[kπ-
      5π
      12
      ，kπ-
      π
      6
      ），k∈z．
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