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  • 设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．
      （1）试证明对?k∈R3，f（x）=x      2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；
      （2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x      1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

      试题解答

      见解析
      解：（1）?x1、x2∈（-1，1），|f（x1）-f（x2）|=|x1+x2+k|×|x1-x2|（1分）．
      若k≥0，则当x      1、x2∈(
      1
      2
      ，1)时，x1+x2+k＞（12分），从而|f（x1）-f（x2）|＞|x1-x2|（3分）；
      若k＜0，则当x      1、x2∈(-1，-
      1
      2
      )时，x1+x2+k＜-1，|x1+x2+k|＞1（4分），
      从而|f（x      1）-f（x2）|＞|x1-x2|，所以对任意常数k，f（x）=x2+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数（5分）．
      （2）若x      1、x2∈[0，2]，①当|x1-x2|≤1时，|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|≤1（6分）；
      ②当|x      1-x2|＞1时，不妨设0≤x1＜x2≤2，根据f（x）的周期性，f（0）=f（2）（7分），
      |f（x      1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（2）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（2）-f（x2）|
      ≤|x      1|+|2-x2|=x1+2-x2=2-（x2-x1）＜1（11分），
      所以对?x      1、x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤1（12分）．
      对?x      1、x2∈R，根据f（x）的周期性（且T=2），存在p1、p2∈[0，2]，
      使f（x      1）=f（p1）、f（x2）=f（p2），从而|f（x1）-f（x2）|=|f（p1）-f（p2）|≤1（17分）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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