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  • 如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，（1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值，若存在，求出来，若不存在，说明理由（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB 的值（3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k?DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD的中点，F为AD边上一点，且不与点D重合，AF=a，
      （1）判断四边形BCEF的面积是否存在最大或者最小值，若存在，求出来，若不存在，说明理由
      （2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB 的值
      （3）在（2）的条件下，若将“E是CD的中点”改为“CE=k?DE”，其中k为正整数，其他条件不变，请直接写出tan∠AFB的值（用k的代数式表示）

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图，连接BE，
      S      四边形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=42-
      1
      2
      ×4×a-
      1
      2
      ×2×（4-a）=12-a，
      ∵F为AD边上一点，且不与点D重合，
      ∴0≤a＜4，
      ∴当点F与点A重合时，a=0，S      四边形BCEF存在最大值12．
      S      四边形BCEF不存在最小值．
      （2）如图，延长BC，FE交于点P，
      ∵正方形ABCD，
      ∴AD∥BC．
      ∴△DEF∽△CEP．
      ∵E为CD的中点，
      ∴
      EF
      EP
      =
      DE
      CE
      =1，PF=2EF．
      ∵∠BFE=∠FBC，
      ∴PB=PF．
      ∵AF=a，
      ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
      EF=
      PF
      2
      =
      8-a
      2
      ．
      ∵Rt△DEF中，EF      2=DE2+DF2，
      ∴      (
      8-a
      2
      )2=22+（4-a）2整理，得3a2-16a+16=0，
      解得，a      1=
      4
      3
      ，a2=4；
      ∵F点不与D点重合，
      ∴a=4不成立，a=
      4
      3
      ，tan∠AFB=
      AB
      AF
      =3．
      （3）延长BC，FE交于点P，
      ∵正方形ABCD，
      ∴AD∥BC，
      ∴△DEF∽△CEP．
      ∵E为CD的中点，
      ∴
      EF
      EP
      =
      DE
      CE
      =1，
      EF
      EP
      =
      DE
      CE
      =
      1
      k
      ，PF=（k+1）EF．
      ∵∠BFE=∠FBC，
      ∴PB=PF，
      ∵AF=a，
      ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a．
      EF=
      PF
      k+1
      =
      8-a
      k+1
      ．
      ∵Rt△DEF中，EF      2=DE2+DF2，
      ∴（
      8-a
      k+1
      ）2=（
      4
      k+1
      ）2+（4-a）2整理，
      12-a
      k+1
      ×
      4-a
      k+1
      =（4-a）2，
      （k+1）      2=
      12-a
      4-a
      ，
      解得a=
      4
      2k+1
      ，
      ∴tan∠AFB=
      AB
      AF
      =2k+1（k为正数）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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