已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a]，
∴

，
即

，解得a=2．
（2）若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，即（6-2a）-（5-a²）≤4，解得-1≤a≤3，
又a≥2，∴2≤a≤3．
若1＜a＜2，f_max（x）=f（a+1）=6-a²，f（x）_min=f（a）=5-a²，
f（x）_max-f（x）_min≤4显然成立，综上1＜a≤3．

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已知函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（2）若对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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