已知函数f（x）=13x3-（a-1）x2+b2x，其中a，b为实常数．（Ⅰ）求函数f（x）为奇函数的充要条件；（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

x³-（a-1）x²+b²x，其中a，b为实常数．
（Ⅰ）求函数f（x）为奇函数的充要条件；
（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）若f（x）任意x∈R，
有f（x）+f（-x）=0
即

x³-(a-1)x²+b²x-

x³-(a-1)x²-b²x=0
???2（a-1）x²=0∴a=1
当a=1 时，f(x)=

x³+b²x
f(-x)=-

x³-b²x=-f(x)，所以f（x）为奇函数．
故f（x）为奇函数的充要条件是a=1．

（Ⅱ）因为f'（x）=x²-2（a-1）x+b²．
若f（x）在R上是增函数，则对任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以△=4（a-1）²-4b²≤0，即|a-1|＜|b|．
设“f（x）在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为{（a，b）||a-1|＜|b|}．
又全部试验结果Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤3，如图．
所以P(A)=

S_图象

S_Ω

3×4-

×1×1-

×3×3

3×4

．
故函数f（x）在R上是增函数的概率为

．

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=13x3-（a-1）x2+b2x，其中a，b为实常数．（Ⅰ）求函数f（x）为奇函数的充要条件；（Ⅱ）若任取a∈[0，4]，b∈[0，3]，求函数f（x）在R上是增函数的概率．试题及答案-单选题-云返教育

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