已知f（x）=（1ax-1+12）?x3（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知f（x）=（

a^x-1

）?x³（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）若f（x）＞0在定义域上恒成立，求a的取值范围．

见解析

解：（1）要使函数有意义，则a^x-1≠0，即x≠0，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
（2）∵函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
∴定义域关于原点对称，
则f（x）=（

a^x-1

）?x³=

a^x+1

2(a^x-1)

?x³，
∴f（-x）=

a^-x+1

2(a^-x-1)

?(-x)³=-

1+a^x

2(1-a^x)

?(-x³)=

a^x+1

2(a^x-1)

?x³=f（x），
∴f（x）是偶函数；
（3）∵f（x）是偶函数；
∴f（x）＞0在定义域上恒成立，
则只需要当x＞0时，f（x）＞0恒成立即可，
即f（x）=

a^x+1

2(a^x-1)

?x³＞0即可，
∴a^x-1＞0，
即a^x＞1，
∵x＞0，
∴a＞1，
即求a的取值范围是a＞1．

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