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  • 设m∈Z，函数f(x)=x-2m2+m+3，g(x)=logm+1x+22-x，且f(35)＜1．（1）求m的值，并确定函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数g（x）的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设m∈Z，函数f(x)=x-2m2+m+3，g(x)=logm+1
      x+2
      2-x
      ，且f(
      3
      5
      )＜1．
      （1）求m的值，并确定函数f（x）的奇偶性；
      （2）判断函数g（x）的单调性，并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由f(
      3
      5
      )＜1，得(
      3
      5
      )-2m2+m+3＜1，
      ∴-2m      2+m+3＞0，解得，-1＜m＜
      3
      2
      ，
      又∵m∈Z，∴m=0或1
      当m=0时，g（x）的底数为1，无意义，舍去．
      当m=1时，∴-2m      2+m+3=2，f（x）=x2是偶函数．此时g（x）的底数为2，成立
      综上所述，m的值为1，f（x）=x      2
      （2）由（1）知，g(x)=log      2
      x+2
      2-x
      ，（x≠2）
      由
      x+2
      2-x
      ＞0，得-2＜x＜2，∴g（x）的定义域为（-2，2）
      设-2＜x      1＜x2＜2，f（x1）-f（x2）=log2
      x1+2
      2-x1
      -log2
      x2+2
      2-x2

      =log      a
      x1+2
      2-x1
      ?
      2-x2
      x2+2
      =loga
      -x1x2+2x1-2x2+4
      4-2x1+2x2-x1x2

      ∵-2＜x      1＜x2＜2，∴0＜-x1x2+2x1-2x2+4＜4-2x1+2x2-x1x2?
      -x1x2+2x1-2x2+4
      4-2x1+2x2-x1x2
      ＜1
      ∴log      a
      -x1x2+2x1-2x2+4
      4-2x1+2x2-x1x2
      ＜0
      ∴函数g（x）在（-2，2）上为增函数．
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