• 已知函数f(x)=logax-5x+5, (a>0且a≠1).(I) 判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(II) 设g(x)=1+loga(x-3),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育

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      已知函数f(x)=loga
      x-5
      x+5
      , (a>0且a≠1).
      (I) 判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
      (II) 设g(x)=1+log
      a(x-3),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(I)由
      x-5
      x+5
      >0
      所以函数的定义域为:(-∞,-5)∪(5,+∞).…(2分)
      又f(-x)=log
      a
      -x-5
      -x+5
      =loga
      x+5
      x-5
      =-loga
      x-5
      x+5
      =-f(x),
      ∴f(x)是奇函数.…(6分)
      (II)若f(x)=g(x)有实根,即:log
      a
      x-5
      x+5
      =1+loga(x-3)有实根.
      {
      x-5
      x+5
      >0
      x-3>0
      ?x>5.
      ∴即方程
      x-5
      x+5
      =a(x-3)有大于5的实根…(10分)
      (法1)a=
      x-5
      (x-3)(x+5)
      =
      (x-5)
      (x-5+2)(x-5+10)
      (∵x>5)
      =
      x-5
      (x-5)2+12(x-5)+20
      =
      1
      (x-5)+
      20
      (x-5)
      +12
      1
      12+2
      20
      =
      3-
      5
      16

      ∴a∈(0,
      3-
      5
      16
      ].…(16分)
      (法2)(实根分布)
      x-5
      x+5
      =a(x-3)(1)有大于5的实根,
      方程(1)化为:ax
      2+(2a-1)x-15a+5=0.
      ∵a>0,∴△=64a
      2-24a+1≥0.
      ①有一根大于5,f(5)<0?a∈?.
      ②两根均大于5,
      {
      △≥0
      f(5)>0
      1-2a
      2a
      >5
      ?a∈(0,
      3-
      5
      16
      ].…(16分)

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