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  • 已知函数f(x)=logax-5x+5， (a＞0且a≠1)．（I） 判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（II） 设g（x）=1+loga（x-3），若方程f（x）=g（x）有实根，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=loga
      x-5
      x+5
      ， (a＞0且a≠1)．
      （I） 判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
      （II） 设g（x）=1+log      a（x-3），若方程f（x）=g（x）有实根，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（I）由
      x-5
      x+5
      ＞0
      所以函数的定义域为：（-∞，-5）∪（5，+∞）．…（2分）
      又f(-x)=log      a
      -x-5
      -x+5
      =loga
      x+5
      x-5
      =-loga
      x-5
      x+5
      =-f(x)，
      ∴f（x）是奇函数．…（6分）
      （II）若f（x）=g（x）有实根，即：log      a
      x-5
      x+5
      =1+loga(x-3)有实根．
      ∴
      {
      x-5
      x+5
      ＞0
      x-3＞0
      ?x＞5．
      ∴即方程
      x-5
      x+5
      =a(x-3)有大于5的实根…（10分）
      （法1）a=
      x-5
      (x-3)(x+5)
      =
      (x-5)
      (x-5+2)(x-5+10)
      （∵x＞5）
      =
      x-5
      (x-5)2+12(x-5)+20
      =
      1
      (x-5)+
      20
      (x-5)
      +12
      ≤
      1
      12+2
      √20
      =
      3-
      √5
      16

      ∴a∈(0，
      3-
      √5
      16
      ]．…（16分）
      （法2）（实根分布）
      x-5
      x+5
      =a(x-3)（1）有大于5的实根，
      方程（1）化为：ax      2+（2a-1）x-15a+5=0．
      ∵a＞0，∴△=64a      2-24a+1≥0．
      ①有一根大于5，f（5）＜0?a∈?．
      ②两根均大于5，
      {
      △≥0
      f(5)＞0
      1-2a
      2a
      ＞5
      ?a∈(0，
      3-
      √5
      16
      ]．…（16分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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