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已知函数f(x)=logax-5x+5, (a>0且a≠1).(I) 判断f(x)的奇偶性,并加以证明;(II) 设g(x)=1+loga(x-3),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=log
a
x-5
x+5
, (a>0且a≠1).
(I) 判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(II) 设g(x)=1+log
a
(x-3),若方程f(x)=g(x)有实根,求a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(I)由
x-5
x+5
>0
所以函数的定义域为:(-∞,-5)∪(5,+∞).…(2分)
又f(-x)=log
a
-x-5
-x+5
=log
a
x+5
x-5
=-log
a
x-5
x+5
=-f(x),
∴f(x)是奇函数.…(6分)
(II)若f(x)=g(x)有实根,即:log
a
x-5
x+5
=1+log
a
(x-3)有实根.
∴
{
x-5
x+5
>0
x-3>0
?x>5.
∴即方程
x-5
x+5
=a(x-3)有大于5的实根…(10分)
(法1)a=
x-5
(x-3)(x+5)
=
(x-5)
(x-5+2)(x-5+10)
(∵x>5)
=
x-5
(x-5)
2
+12(x-5)+20
=
1
(x-5)+
20
(x-5)
+12
≤
1
12+2
√
20
=
3-
√
5
16
∴a∈(0,
3-
√
5
16
].…(16分)
(法2)(实根分布)
x-5
x+5
=a(x-3)(1)有大于5的实根,
方程(1)化为:ax
2
+(2a-1)x-15a+5=0.
∵a>0,∴△=64a
2
-24a+1≥0.
①有一根大于5,f(5)<0?a∈?.
②两根均大于5,
{
△≥0
f(5)>0
1-2a
2a
>5
?a∈(0,
3-
√
5
16
].…(16分)
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
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