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  • 已知函数f（x）=x+ax，（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）若a=1，求证函数在区间[1，+∞）上单调递增；（3）若函数在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      a
      x
      ，
      （1）证明函数f（x）是奇函数；
      （2）若a=1，求证函数在区间[1，+∞）上单调递增；
      （3）若函数在区间[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数的定义域是x∈R，且x≠0，又f（-x）=（-x）+
      a
      -x
      =-（x+
      a
      x
      ）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
      （2）当a=1时，任取x      1，x2∈[1，+∞），且1≤x1＜x2，则f（x2）-f（x1）=（x2+
      1
      x2
      ）-（x1+
      1
      x1
      ）=（x2-x1）+
      x1-x2
      x1x2
      =
      (x2-x1)(x1x2-1)
      x1x2
      ；
      ∵x      2-x1＞0，x1x2＞1，∴x1x2-1＞0，∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
      ∴函数在区间[1，+∞）上是增函数；
      （3）因为函数在区间[1，+∞）上是增函数，设1≤x      1＜x2，则x2-x1＞0，x1x2＞1，
      所以f（x      2）-f（x1）=（x2+
      a
      x2
      ）-（x1+
      a
      x1
      ）=（x2-x1）+
      a(x1-x2)
      x1x2
      =
      (x2-x1)(x1x2-a)
      x1x2
      ＞0，
      ∴x      1x2-a＞0，
      ∴a＜x      1x2，故a≤1，所以a的取值范围是：[1，+∞）．
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