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已知函数f(x)=2x-12x+1．（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；（3）求f（x）的值域；（4）解不等式f(x)＞79．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求f（x）的值域；
（4）解不等式f(x)＞

7

9

．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）为奇函数．
因为f（x）的定义域为R，对?x∈R
∵f(-x)=

2^-x-1

2^-x+1

=

1-2^x

1+2^x

=-

2^x-1

2^x+1

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
∵对-∞＜x₁＜x₂＜+∞，2^x₁-2^x₂＜0，
f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2

2^x+1

又f(x₁)-f(x₂)=(1-

2

2^x₁+1

)-(1-

2

2^x₂+1

)=

2

2^x₂+1

-

2

2^x₁+1

=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＜0；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（3）∵f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2

2^x+1

，
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴f（x）∈（-1，1）．
（4）∵f(3)=

7

9

；
又∵f(x)＞

7

9

即为f（x）＞f（3）；
又f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
∴不等式f(x)＞

7

9

的解集为{x|x＞3}

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必修1 人教A版单选题高中数学

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