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  • （选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+12)+f(11-x)＞0．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )．
      （1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
      （2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
      （3）在（2）的条件下解不等式：f(x+
      1
      2
      )+f(
      1
      1-x
      )＞0．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f（x）为奇函数．
      令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )有，
      2f（0）=f（0），f（0）=0；
      令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(
      x+y
      1+xy
      )得：
      f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足）
      ∴f（x）=-f（-x），得证．
      （2）设-1＜x      1＜x2＜1，
      f（x      1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f(
      x1-x2
      1-x1?x2
      )，
      由题设知，必有-1＜
      x1-x2
      1-x1?x2
      ＜1
      又x      1-x2＜0，由x1，x2∈（-1，1），可得-x1?x2∈（-1，1），所以1-x1?x2＞0，
      所以-1＜
      x1-x2
      1-x1?x2
      ＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）=f(
      x1-x2
      1-x1?x2
      )＞0
      ∴f（x      1）＞f（x2）
      即f（x）在（-1，1）上是减函数；
      （3）∵f(x+
      1
      2
      )+f(
      1
      1-x
      )＞0，f（x）为奇函数，
      ∴f(x+
      1
      2
      ) ＞f(
      1
      x-1
      )，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，
      ∴
      {
      -1＜x+
      1
      2
      ＜ 1
      -1＜
      1
      x-1
      ＜1
      x+
      1
      2
      ＜
      1
      x-1
      解得：-
      3
      2
      ＜x＜-1
      ∴不等式的解集为：{x|-
      3
      2
      ＜x＜-1}．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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