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  • 设函数f(x)=log2(1+x1-ax)（a∈R），若f(-13)=-1．（1）求f（x）解析式并判断其奇偶性；（2）当x∈[-1，0）时，求f（3x）的值域；（3）g(x)=log√21+xk，若x∈[12，23]时，f（x）≤g（x）有解，求实数k取值集合．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=log2(
      1+x
      1-ax
      )（a∈R），若f(-
      1
      3
      )=-1．
      （1）求f（x）解析式并判断其奇偶性；
      （2）当x∈[-1，0）时，求f（3      x）的值域；
      （3）g(x)=log
      √2
      1+x
      k
      ，若x∈[
      1
      2
      ，
      2
      3
      ]时，f（x）≤g（x）有解，求实数k取值集合．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由于f(-
      1
      3
      )=log2
      1-
      1
      3
      1+
      a
      3
      =-1，∴
      2
      3
      1+
      a
      3
      =
      1
      2
      ，即
      4
      3
      =1+
      a
      3
      ，解得a=1，
      ∴f(x)=log      2
      1+x
      1-x
      ．
      再由
      1+x
      1-x
      ＞0，求得-1＜x＜1
      ，∴定义域为（-1，1），定义域关于原点对称．
      再根据f(-x)=log      2
      1-x
      1+x
      =log2(
      1+x
      1-x
      )-1=-log2
      1+x
      1-x
      =-f（x）
      ∴f（x）为奇函数．-----（3分）
      （2）f（x）=log      2(-1-
      2
      x-1
      )，∴f(3x)=log2(-1-
      2
      3x-1
      )．
      ∵-1≤x＜0，∴-
      2
      3
      ≤3x-1＜0，∴
      2
      3x-1
      ≤-3，即-
      2
      3x-1
      ≥3，
      ∴-1-
      2
      3x-1
      ≥2，∴log2(-1-
      2
      3x-1
      )≥log22=1，
      ∴值域为[1，+∞）．-----（7分）
      （3）∵log      2
      1+x
      1-x
      ≤log
      √2
      1+x
      k
      =2log2
      1+x
      k
      =log2(
      1+x
      k
      )2，∴
      1+x
      1-x
      ≤(
      1+x
      k
      )2．
      ∵
      1
      2
      ≤x≤
      2
      3
      ，∴x+1＞0．-------（9分）
      令 h（x）=1-x      2，显然h（x）在[
      1
      2
      ，
      3
      2
      ]上是减函数，∴h(x)max=h(
      1
      2
      )=
      3
      4
      ，
      ∴只需k      2≤
      3
      4
      ．又由g（x）定义域知k＞0，∴0＜k≤
      √3
      2
      ，即k的范围为 （0，
      √3
      2
      ）．-----（13分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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