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  • 已知函数f(x)=x+1x．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      1
      x
      ．
      （1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
      （2）证明函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数f(x)=x+
      1
      x
      为奇函数
      ∵函数f(x)=x+
      1
      x
      的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）且关于原点对称．
      且f(-x)=-x+
      1
      -x
      =-(x+
      1
      x
      )=-f(x)．
      所以函数f(x)=x+
      1
      x
      为奇函数．
      （2）证明：设x      1，x2是区间（1，+∞）上的任意两个数，且x1＜x2．
      f(x      1)-f(x2)=x1+
      1
      x1
      -(x2+
      1
      x2
      )=x1-x2+
      1
      x1
      -
      1
      x2
      =(x1-x2)(1-
      1
      x1x2
      )
      =
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2
      ．
      ∵1＜x      1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2-1＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）．
      ∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数．
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