已知函数f（x）=x2+（x-1）|x-a|．（1）若a=-1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得g（x）=f（x）-x|x|在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得g（x）=f（x）-x|x|在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
故有，f(x)=

{	2x²-1， x≥-1 1， x＜-1

，
当x≥-1时，由f（x）=1，有2x²-1=1，解得x=1，或x=-1．
当x＜-1时，f（x）=1恒成立，
∴方程的解集为{x|x≤-1或x=1}．
（2）f(x)=

{	2x²-(a+1)x+a， x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
若f（x）在R上单调递增，
则有

{

a+1

≤a

a+1＞0

，解得，a≥

．
∴当a≥

时，f（x）在R上单调递增．
（3）g（x）=x²+（x-1）|x+a|-x|x|，
∵g（1）=0，g（-1）=2-2|a-1|，
若存在实数a，使得g（x）在R上是奇函数或是偶函数，
则必有g（-1）=0，
∴2-2|a-1|=0，∴a=0，或a=2．
①若a=0，则g（x）=x²+（x-1）|x|-x|x|=x²-|x|，
∴g（-x）=g（x）对x∈R恒成立，∴g（x）为偶函数．
②若a=2，则g（x）=x²+（x-1）|x+2|-x|x|，
∴g（2）=4，g（-2）=8，∴g（-2）≠g（2）且g（-2）≠-g（2），
∴g（x）为非奇非偶函数，
∴当a=0时，g（x）为偶函数；当a≠0时，g（x）为非奇非偶函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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