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已知函数f(x)=2x+a2x+1，且函数f（x）为奇函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

2^x+a

2^x+1

，且函数f（x）为奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（-x）=-f（x），即

2^-x+a

2^-x+1

=-

2^x+a

2^x+1

，

1+a?2^x

1+2^x

+

2^x+a

2^x+1

=0?（a+1）（2^x+1）=0?a=-1．
（2）任取x₁、x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁-1

2^x₁+1

-

2^x₂-1

2^x₂+1

=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^X₁＜2^x₂，
又∵2^X₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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