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  • 已知函数y=f（x）=ax2+1bx+c（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜52（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）=
      ax2+1
      bx+c
      （a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜
      5
      2

      （1）试求函数f（x）的解析式；
      （2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f（x）是奇函数，
      ∴f（-x）=-f（x），即
      ax2+1
      bx+c
      =-
      ax2+1
      -bx+c
      ?bx+c=bx-c，
      ∴c=0．
      ∵a＞0，b＞0，
      ∴当x＞0时，有f（x）=
      ax2+1
      bx
      =
      a
      b
      x+
      1
      bx
      ≥2
      √
      a
      b2
      ，
      当且仅当x=
      √
      1
      a
      时等号成立，于是2
      √
      a
      b2
      =2，∴a=b2，
      由f（1）＜
      5
      2
      得
      a+1
      b
      ＜
      5
      2
      即
      b2+1
      b
      ＜
      5
      2
      ，
      ∴2b      2-5b+2＜0，解得
      1
      2
      ＜b＜2，又b∈N，
      ∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+
      1
      x
      ．
      （2）假设存在一点（x      0，y0）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x0，-y0）也在y=f（x）图象上，
      则
      {
      x02+1
      x0
      =y0
      (2-x0)2+1
      2-x0
      =-y0
      ，
      所以消去y      0得x02-2x0-1=0，解得x0=1±
      √2
      ．
      ∴y=f（x）图象上存在两点（1+
      √2
      ，2
      √2
      ），（1-
      √2
      ，-2
      √2
      ）关于（1，0）对称．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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