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  • 已知a＞0且a≠1，f（x）=aa2-1（ax-a-x）（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m2）＜0成立的实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞0且a≠1，f（x）=
      a
      a2-1
      （ax-a-x）
      （1）判断函数f（x）的奇偶性；
      （2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
      （3）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m      2）＜0成立的实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1））f（x）定义域为R，在数轴上关于原点对称．
      ∵f（-x）=
      a
      a2-1
      （a-x-ax）=-
      a
      a2-1
      （ax-a-x）=-f（x），
      ∴f（x）是定义域R上的奇函数；
      （2）函数f（x）在R上为增函数．
      证明如下：设x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=
      a
      a2-1
      [（ax1-a-x1）-（ax2-a-x2）]=
      a
      a2-1
      （ax1-ax2）（1+
      1
      ax1ax2
      ），
      当a＞1时，a      2-1＞0，ax1-ax2＜0，
      ∴f（x      1）＜f（x2）；
      当0＜a＜1时，a      2-1＜0，ax1-ax2＞0，
      ∴f（x      1）＜f（x2）；
      ∴当a＞0且a≠1时，f（x）在R上是增函数；
      （3）由f（1-m）+f（1-m      2）＜0得f（1-m）＜-f（1-m2），∴f（1-m）＜f（m2-1），
      ∴
      {
      -1＜1-m＜1
      -1＜1-m2＜1
      1-m＜m2-1
      ，
      解得1＜m＜
      √2
      即为所求m 的取值范围．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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