已知函数y=f（x）=（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜（1）试求函数f（x）的解析式；（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数y=f（x）=

（a，b，c∈R，a＞0，b＞0）是奇函数，当x＞0时，f（x）有最小值2，其中b∈N，且f（1）＜

（1）试求函数f（x）的解析式；
（2）问函数f（x）图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

见解析

（1）∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即

，
∴c=0．
∵a＞0，b＞0，
∴当x＞0时，有f（x）=

≥2

，
当且仅当x=

时等号成立，于是2

=2，∴a=b²，
由f（1）＜

得

即

，
∴2b²-5b+2＜0，解得

＜b＜2，又b∈N，
∴b=1，∴a=1，∴f（x）=x+

．
（2）假设存在一点（x，y）在y=f（x）的图象上，并且关于（1，0）的对称点（2-x，-y）也在y=f（x）图象上，
则

，
所以消去y得x²-2x-1=0，解得x=1±

．
∴y=f（x）图象上存在两点（1+

，2

），（1-

，-2

）关于（1，0）对称．

标签