设a是实数，．（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设a是实数，

．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）试证明：对于任意a，f（x）在R上为单调函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，且不等式f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

试题解答

见解析

（1）∵

，且f（x）+f（-x）=0
∴

，∴a=1（注：通过f（0）=0求也同样给分）
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则

∵x₁＜x₂，∴

∴f（x₁）-f（x₂）＜0即∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0得
f（k?3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
∴k?3^x＜-3^x+9^x+2即3^2x-（1+k）3^x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3^x＞0，问题等价于t²-（1+k）t+2＞0，其对称轴