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  • 下列四个函数：①f（x）=x3+x2；②f（x）=x4+x；③f（x）=sin2x+x；④f（x）=cos2x+sinx中，仅通过平移变换就能使函数图象为奇函数或偶函数图象的函数为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      下列四个函数：①f（x）=x3+x2；②f（x）=x4+x；③f（x）=sin2x+x；④f（x）=cos2x+sinx中，仅通过平移变换就能使函数图象为奇函数或偶函数图象的函数为（　　）

      试题解答

      D
      解：①∵f（x）=x3+x2，
      ∴f ′(x)=3x      2+2x=3x(x+
      2
      3
      )，
      ∴在(-∞，-
      2
      3
      )上，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
      在(-
      2
      3
      ，0)上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
      在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
      猜测：函数图象的可能是中心对称图形，
      由极值点坐标(-
      2
      3
      ，
      4
      27
      )，(0，0)
      得到函数图象的对称中心坐标为(-
      1
      3
      ，
      2
      27
      )．
      ∴将y=f（x）向右平移
      1
      3
      个单位，向下平移
      2
      27
      个单位，得到的函数解析式为：
      y=(x-
      1
      3
      )3+(x-
      1
      3
      )2-
      2
      27
      ，即y=x3-
      1
      3
      x，
      显然该函数为奇函数，故①中函数符合题意，排除选项B；
      ②∵f（x）=x      4+x，
      ∴f ′(x)=4x      3+1=4(x3+
      1
      4
      )=4(x+
      3√
      1
      4
      )(x2-
      3√
      1
      4
      x+
      3√
      1
      16
      )，
      ∴在(-∞，-
      3√
      1
      4
      )上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
      在(-
      3√
      1
      4
      ，+∞)上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
      猜测：函数图象的可能是轴对称图形，
      对称轴方程为：x=-
      3√
      1
      4
      ．
      ∴将y=f（x）向右平移
      3√
      1
      4
      个单位，得到的函数解析式为：
      y=(x-
      3√
      1
      4
      )4+(x-
      3√
      1
      4
      )，即y=x4-4x3+6
      3√
      1
      16
      x2-
      3
      4
      3√
      1
      4
      ．
      显然该函数不是偶函数．故②中函数不符合题意，故排除选项A、C；
      综上所述：本题应选D．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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