设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：
①c=0时，y=f（x）是奇函数；
②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；
④方程f（x）=0至多有两个实数根；
上述命题中正确的命题的序号是．

①②③

解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（-x）=-x|-x|+b（-x）=-f（x），故①正确
②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=

{	x²+c，x≥0 -x²+c，x＜0

令f（x）=0可得x=-

√c

，故②正确
③设函数y=f（x）上的任意一点M（x，y）关于点（0，c）对称的点N（x′，y′），则

{	x= -x^′ y=2c-

y^′．代入y=f（x）可得2c-y′=-x′|-x′|-bx′+c?y′=x′|x′|+bx′+c故③正确
④当c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2故④错误
故答案为：①②③

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