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  • 已知函数f(x)=x+3x（1）用函数单调定义研究函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明之；（3）根据函数的单调性和奇偶性作出函数f（x）的图象，写出该函数的单调减区间．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      3
      x

      （1）用函数单调定义研究函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
      （2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明之；
      （3）根据函数的单调性和奇偶性作出函数f（x）的图象，写出该函数的单调减区间．

      试题解答

      见解析
      解：（1）任意取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2.f(x1)-f(x2)=(x1+
      3
      x1
      )-(x2+
      3
      x2
      )=(x1-x2)(1-
      3
      x1x2
      )=(x1-x2)
      x1x2-3
      x1x2
      （3分）
      因为x      1＜x2所以x1-x2＜0
      当      x1，x2∈(0，
      √3
      ]时，0＜x1x2＜3所以x1x2-3＜0
      所以f（x      1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）．
      所以f（x）在（0，
      √3
      ]上是单调减函数．（6分）
      同理可证f（x）在（
      √3
      ，+∞）上是单调增函数．（8分）
      （2）函数f（x）的定义域为x|x≠0，x∈R关于原点对称（9分）
      因为f(-x)=-x-
      3
      x
      =-f(x).
      所以f（x）是奇函数．（12分）
      （3）图象为
      （14分）
      函数f（x）的单调减区间为(-
      √3
      ，0)和(0，
      √3
      )（16分）
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