定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1．（1）求函数f（x）在（-1，1）的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

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定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=

2^x

4^x+1

．
（1）求函数f（x）在（-1，1）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并证明．

见解析

解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

{

2^x

4^x+1

x∈(0，1)

2^x

4^x+1

x∈(-1，0)

0 x∈{-1，0，1}

（2）f（x）在（0，1）上单调递减．
证明当x∈（-1，0）时，f（x）=

2^x

4^x+1

，设-1＜x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₂-2^x₁)(2^x₁+x₂-1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜0，，∴2^x₂-2^x₁＞0，2^x₂+x₁-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，1）上单调递减．

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