已知定义域为R的函数f(x)=a?2x-12x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f(x)=

a?2^x-1

2^x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f（-x）=-f（x）?f（0）=0
则

a-1

1+1

=0?a=1
（2）f（x）为递增函数
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=

2^x₁-1

2^x₁+1

2^x₂-1

2^x₂+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵x₁＜x₂∴2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）为递增函数
（3）f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0对t∈[-2，2]恒成立
则f（t²-2t）＜-f（2t²-k）对t∈[-2，2]恒成立
因???f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x）
则f（t²-2t）＜f（-2t²+k）对t∈[-2，2]恒成立
又因为f（x）为递增函数
所以t²-2t＜-2t²+k对t∈[-2，2]恒成立
即3t²-2t-k＜0对t∈[-2，2]恒成立
令u=3t²-2t-k，t∈[-2，2]，当x=-2时，u_max=16-k
则16-k＜0，则k＞16

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已知定义域为R的函数f(x)=a?2x-12x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）若对任意的t∈[-2，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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