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  • 已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[1b，1a]，则a+b=（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x2，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[
      1
      b
      ，
      1
      a
      ]，则a+b=（　　）

      试题解答

      D
      解：设x＞0，有-x＜0，则f（-x）=-2x+x2，
      又由y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
      则x＞0时，f（x）=2x-x      2，
      对于a、b分三种情况讨论：
      ①、当a＜1＜b时，f（x）=2x-x      2的最大值为1；得
      1
      a
      =1，即a=1，不合题意，舍去，
      ②、当a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，而
      1
      a
      ＞1，不合题意，舍去，
      ③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，可得
      {
      f(a)=
      1
      a
      f(b)=
      1
      b
      ，解可得a=1，b=
      1+
      √5
      2
      ，符合题意，
      则a+b=
      3+
      √5
      2
      ；
      故选D．
      标签
      必修1人教A版单选题高中数学

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