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  • 已知函数f（x）=|x-m|，函数g（x）=xf（x）+m2-7m．（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；（2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；（3）若对任意x1∈（-∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=|x-m|，函数g（x）=xf（x）+m2-7m．
      （1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；
      （2）求函数g（x）在[3，+∞）上的最小值；
      （3）若对任意x      1∈（-∞，4]，均存在x2∈[3，+∞），使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当m=1时，g（x）=xf（x）+m2-7m=x|x-1|-6．
      不等式g（x）≥0，即x|x-1|-6≥0，
      ①当x≥1时，不等式转化为x      2-x-6≥0，解之得x≥3或x≤-2
      因为x≤-2不满足x≥1，所以此时x≥3
      ②当x＜1时，不等式转化为-x      2+x-6≥0，不等式的解集是空集
      综???所述，不等式g（x）≥0的解集为[3，+∞）；
      （2）g（x）=xf（x）+m      2-7m=
      {
      (x-
      m
      2
      )2+
      3
      4
      m2-7m x≥m
      -(x-
      m
      2
      )2+
      5
      4
      m2-7m x＜m

      ∴当m＞0时，g（x）在区间（-∞，
      m
      2
      ）和（m，+∞）上是增函数；（
      m
      2
      ，m）上是减函数；
      当m＜0时，g（x）在区间（-∞，m）和（
      m
      2
      ，+∞）上是增函数；（m，
      m
      2
      ）上是减函数；
      当m=0时，g（x）在区间（-∞，+∞）上是增函数．
      ∵定义域为x∈[3，+∞），
      ∴①当m≤3时，g（x）在区间[3，+∞）上是增函数，得g（x）的最小值为g（3）=m      2-10m+9；
      ②当m＞3时，因为g（0）=g（m）=m      2-7m，结合函数g（x）的单调性，得g（3）＞g（m）
      ∴g（x）的最小值为g（m）=m      2-7m．
      综上所述，得g（x）的最小值为
      {
      m2-10m+9 m≤3
      m2-7m m＞3
      ；
      （3）f（x）=
      {
      x-m x≥m
      m-x x＜m
      ，
      因为x∈（-∞，4]，所以当m＜4时，f（x）的最小值为f（m）=0；
      当m≥4时，f（x）的最小值为f（4）=m-4．
      由题意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，结合（2）得
      ①当m≤3时，由0＞m      2-10m+9，得1＜m＜9，故1＜m≤3；
      ②当3＜m＜4时，由0＞m      2-7m，得1＜m＜7，故3＜m＜4；
      ③当m≥4时，由m-4＞m      2-7m，得4-2
      √3
      ＜m＜4+2
      √3
      ，故4≤m＜4+2
      √3
      ．
      综上所述，实数m的取值范围是（1，4+2
      √3
      ）
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