已知定义域为R的函数f(x)=12x+1-12．（1）判断其奇偶性并证明；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f(x)=

2^x+1

．
（1）判断其奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，不用证明；
（3）是否存在实数k，对于任意t∈[1，2]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，说明理由．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）是奇函数．
证明：∵f(-x)=

2^-x+1

2^x

2^x+1

=1-

2^x+1

=-(

2^x+1

)=-f(x)
∴f（x）是R上的奇函数．（3分）
（2）由（1）可知f（x）是奇函数，
当x=0时，f（x）=0，
当x＞0且x越来越大，f（x）越来越小，x→+∞，f（x）越来越来→-

，
∴f（x）是R上的减函数．（6分）
（3）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）（9分）
又f（x）是R上的减函数
∴t²-2t＜k-2t²
即问题等价于对任意t∈[1，2]，k＞3t²-2t恒成立（12分）
令g（t）=3t²-2t，
则g（t）在[1，2]上是增函数，
∴g（t）_max=g（2）=12-4=8（13分）
∴k＞8．

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