已知函数f(x)=2x+a2x+b为奇函数．（1）求a和b的值；（2）当f（x）定义域不是R时，判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并给出证明；（3）当f（x）定义域为R时，求函数f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

2^x+a

2^x+b

为奇函数．
（1）求a和b的值；
（2）当f（x）定义域不是R时，判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并给出证明；
（3）当f（x）定义域为R时，求函数f（x）的值域．

试题解答

见解析

（1）解：由f（x）为奇函数得，f（x）+f（-x）=0，
即

2^x+a

2^x+b

2^-x+a

2^-x+b

=0，化简得（a+b）（2^2x+2^-x）+2（ab+1）=0
∴

{	a+b=0 ab+1=0

，解得：

{

a=1

b=-1

或

{

a=-1

b=1

（4分）
（2）由已知得

{

a=1

b=-1

，f（x）=

2^x+1

2^x-1

这时，f（x）在（0，+∞）内是减函数．
证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁+1

2^x₁-1

2^x₂+1

2^x₂-1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁-1)(2^x₂-1)

，
∵x₁＞0，x₂＞0，x₁＜x₂∴2^x₁-1＞0，2^x₂-1＞0，2^x₂-2^x₁＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
因此，f（x）在（0，+∞）内是减函数．（4分）
（3）解：由已知得：f（x）=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2^x+1

＜2，
∴-2＜-

2^x+1

＜0，
∴-1＜f（x）＜1
因此，f（x）的值域为（-1，1）（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=2x+a2x+b为奇函数．（1）求a和b的值；（2）当f（x）定义域不是R时，判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并给出证明；（3）当f（x）定义域为R时，求函数f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

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