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  • 已知a＞1，f(logax)=aa2-1(x-1x)（1）求f（x）；（2）判断f（x）的奇偶性和单调性；（3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m2）＜0，求m的集合M．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知a＞1，f(logax)=
      a
      a2-1
      (x-
      1
      x
      )
      （1）求f（x）；
      （2）判断f（x）的奇偶性和单调性；
      （3）若当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m      2）＜0，求m的集合M．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令t=logax，则x=at，代入f(logax)=
      a
      a2-1
      (x-
      1
      x
      )，可得f(t)=
      a
      a2-1
      (a2-a-2)
      ∴函数的解析式f(x)=
      a
      a2-1
      (ax-a-x)；
      （2）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
      且f(-x)=
      a
      a2-1
      (a-x-ax)=-
      a
      a2-1
      (ax-a-x)=-f(x)，
      ∴f（x）为奇函数；
      设x      1，x2∈R，且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=
      a
      a2-1
      (ax1-a-x1)-
      a
      a2-1
      (ax2-a-x2)=
      a
      a2-1
      (ax1-ax2)(1+
      1
      ax1+x2
      )，
      a＞1时，∵x      1＜x2，∴
      a
      a2-1
      ＞0，ax1-ax2＜0，1+
      1
      ax1+x2
      ＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
      所以f（x）单调递增；
      （3）若当x∈（-1，1）时，有1-m∈（-1，1）且1-m      2∈（-1，1），
      f（1-m）+f（1-m      2）＜0可化为f（1-m）＜-f（1-m2），
      ∵f（x）为奇函数，∴f（1-m）＜f（m      2-1），又f（x）为增函数，∴1-m＜m2-1，
      由
      {
      -1＜1-m＜1
      -1＜1-m2＜1
      m2+m-2＞0
      解得，1＜m＜
      √2
      ，
      故M={m|1＜m＜
      √2
      }．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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