已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义域为R的函数f（x）=

b-2^x

2^x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（3）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，可得b=1
又∵f（-1）=-f（1）
∴

1-2^-1

2^-1+a

1-2

2+a

，解之得a=1
经检验当a=1且b=1时，f（x）=

1-2^x

2^x+1

，满足f（-x）=-f（x）是奇函数． …（4分）
（2）由（1）得f（x）=

1-2^x

2^x+1

=-1+

2^x+1

，
任取实数x₁、x₂，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁+1

2^x₂+1

2(2^x₂-2^x₁)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵x₁＜x₂，可得2^x₁＜2^x₂，且(2^x₁+1)(2^x₂+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数； …（8分）
（3）根据（1）（2）知，函数f（x）是奇函数且在（-∞，+∞）上为减函数．
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，即f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（-2t²+k）
也就是：t²-2t＞-2t²+k对任意的t∈R都成立．
变量分离，得k＜3t²-2t对任意的t∈R都成立，
∵3t²-2t=3（t-

）²-

，当t=

时有最小值为-

∴k＜-

，即k的范围是（-∞，-

）． …（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知定义域为R的函数f（x）=b-2x2x+a是奇函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；（3）若对于任意t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的范围．试题及答案-单选题-云返教育

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