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  • 设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3①求f（x）的解析式；②是否存在正整数a，使f（x）的最大值为12？若存在求出a的值，若不存在说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）3
      ①求f（x）的解析式；
      ②是否存在正整数a，使f（x）的最大值为12？若存在求出a的值，若不存在说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
      它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
      当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）      3，
      ∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x      3，
      当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x      3，
      又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
      ∴f（x）=2ax-4x      3，
      则f(x)=
      {
      -2ax+4x3 (-1≤x≤0)
      2ax-4x3 (0＜x≤1)
      ，
      （2）假设存在正整数a，使函数f（x）的最大值为12，
      又f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x      3在x∈（0，1]的最大值
      令f′（x）=2a-12x      2=0，得x=
      √
      a
      6
      (a＞0)，
      若
      √
      a
      b
      ∈(0，1]，即0＜a≤6时：
      x∈(0，
      √
      a
      6
      ]，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
      x∈(
      √
      a
      6
      ，1]，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
      则      [f(x)]max=f(
      √
      a
      6
      )=2a×
      √
      a
      6
      -4(
      √
      a
      6
      )3＜2a×
      √
      a
      6
      ≤12
      故此时不存在符合题意的a，
      若
      √
      a
      6
      ＞1，即a＞6时，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
      则f（x）在（0，1]上单调递增，
      ∴      [f(x)]max=f(1)=2a-4 ，
      令2a-4=12，得a=8，
      综上，存在a=8满足题意．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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