（附加题）已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），在x∈（0，1]时，f（x）=2x4x+1．（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；（2）设g（x）=-2x?f（x）（-1＜x＜0），求函数y=g（x）的值域；（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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（附加题）已知定义在[-1，1]上的奇函数f（x），在x∈（0，1]时，f（x）=

2^x

4^x+1

．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=-2^x?f（x）（-1＜x＜0），求函数y=g（x）的值域；
（3）若关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，求实数λ的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函数，x∈（0，1]时，f（x）=

2^x

4^x+1

，
∴f（x）=-f（-x）=-

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

∵f（0）=f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

{

2^x

4^x+1

，x∈[-1，0)

0，x=0

2^x

4^x+1

，x∈(0，1]

；
（2）-1＜x＜0时，g（x）=2^x?

2^x

4^x+1

4^x

4^x+1

=1-

4^x+1

，
∵-1＜x＜0，∴

＜4^x+1＜2
∴

＜

4^x+1

＜

，∴

＜g(x)＜

∴函数y=g（x）的值域为[

，

]；
（3）关于x的不等式λf（x）＜1在x∈（0，1]上有解，等价于λ?

2^x

4^x+1

＜1在x∈（0，1]上有解
即λ＜

4^x+1

2^x

在x∈（0，1]上有解
令h（x）=

4^x+1

2^x

，则h′（x）=

2^xln2(4^x-1)

2^2x

∵x∈（0，1]，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1]上单调递增
∴2＜h（x）≤

∵λ＜

4^x+1

2^x

在x∈（0，1]上有解
∴λ＜

．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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试题解答

集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题