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  • 已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；②f（1）=2；③f（x）在[0，1]上为增函数．（Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）（ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；（ⅱ）解不等式f（x）＞1．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义在R上的函数f（x）满足：
      ①对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y）；
      ②f（1）=2；
      ③f（x）在[0，1]上为增函数．
      （Ⅰ）求f（0）及f（-1）的值；
      （Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
      （Ⅲ）（说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可．）
      （ⅰ）设a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长，求证：f（a），f（b），f（c）也是某个三角形三边的长；
      （ⅱ）解不等式f（x）＞1．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）因为对任意的实数x，y，有f（x+y+1）=f（x-y+1）-f（x）f（y），
      取x=y=0，得f（1）=f（1）-[f（0）]      2，解得f（0）=0，
      取x=-1，y=1，得f（1）=f（-1）-f（-1）f（1），
      又f（1）=2，所以2=f（-1）-2f（-1），解得f（-1）=-2，
      所以f（-1）=-2；
      （Ⅱ）由（Ⅰ）猜测函数f（x）是奇函数，证明如下：
      取x=-1，得f（y）=f（-y）-f（-1）f（y），即f（y）=f（-y）+2f（y），
      所以f（-y）=-f（y），即对任意实数y，有f（-y）=-f（y）；
      所以函数f（x）为奇函数；
      （Ⅲ）（i）证明：因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，
      所以0＜a，b，c＜1，不妨设c≥b≥a，由条件③得f（c）≥f（b）≥f（a）＞0，
      为了证明“f（a），f（b），f（c）也是三角形三边的长”，只需证f（a）+f（b）＞f（c），
      因为a，b，c为周长不超过2的三角形三边的长度，所以1＞
      a+b
      2
      ＞
      c
      2
      ＞0，1≥1-
      b-a
      2
      ＞1-
      c
      2
      ＞0，
      又因为f（x）在[0，1]上为增函数，所以f（
      a+b
      2
      ）＞f（
      c
      2
      ）＞0，f（1-
      b-a
      2
      ）＞f（1-
      c
      2
      ）＞0，
      所以f（a）+f（b）=f（a）-f（-b）=f（1-
      b-a
      2
      ）?f（
      a+b
      2
      ）＞f（1-
      c
      2
      ）?f（
      c
      2
      ）=f（2-c）-f（2），
      在①中取x=0，y=1得f（2）=f（0）；取x=0，y=1-c得f（2-c）=f（c）；
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