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  • 已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）求证：f（x）在R上是增函数；（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知定义域为R的函数f(x)=
      2x-1
      a+2x+1
      是奇函数．
      （1）求a的值；
      （2）求证：f（x）在R上是增函数；
      （3）若对任意的t∈R，不等式f（mt      2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数是奇函数，
      ∴f（1）+f（-1）=0，可得
      1
      a+4
      +
      -
      1
      2
      a+1
      =0，解之得a=2-----------（3分）
      检验：a=2时，f(x)=
      2x-1
      2+2x+1
      ，
      ∴f(-x)=
      2-x-1
      2+2-x+1
      =
      2x(2-x-1)
      2x(2+2-x+1)
      =
      1-2x
      2x+1+2

      ∴f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．-----------（5分）
      （2）证明：令t=2      x，则y=
      t-1
      2+2t
      =
      1
      2
      ?
      t-1
      t+1
      =
      1
      2
      (1-
      2
      t+1
      )=
      1
      2
      -
      1
      t+1

      设x      1∈R，x2∈R且x1＜x2
      ∵t=2x在R上是增函数，∴0＜t1＜t2
      当0＜t      1＜t2时，y1-y2=
      1
      2
      -
      1
      t1+1
      -(
      1
      2
      -
      1
      t2+1
      )=
      1
      t2+1
      -
      1
      t1+1
      =
      t1-t2
      (t1+1)(t2+1)

      ∵0＜t      1＜t2
      ∴t1-t2＜0，t1+1＞0，t2+1＞0
      ∴y      1＜y2，可得f（x）在R上是增函数---------------（10分）
      （3）∵f（x）是奇函数
      ∴不等式f（mt      2+1）+f（1-mt）＞0等价于f（mt2+1）＞f（mt-1）
      ∵f（x）在R上是增函数
      ∴对任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt      2+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，
      化简整理得：mt      2-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立
      1°m=0时，不等式即为2＞0恒成立，符合题意；
      2°m≠0时，有
      {
      m＞0
      △=m2-8m＜0
      即0＜m＜8
      综上所述，可得实数m的取值范围为0≤m＜8-------------（16分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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