已知函数f(x)=ax-1ax+1，其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

a^x-1

a^x+1

，其中a＞0且a≠1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．

试题解答

见解析

解：（1）由题意得f（x）的定义域为R，
且f(-x)=

a^-x-1

a^-x+1

1-a^x

1+a^x

a^x-1

a^x+1

=-f(x)，-------------（2分）
∴f（x）是奇函数．------------------------------------------------（4分）
证明：（2）设x₁＜x₂，则f(x₁)-f(x₂)=

a^x₁-1

a^x₁+1

a^x₂-1

a^x₂+1

2(a^x₁-a^x₂)

(a^x₁+1)(a^x₂+1)

．--------------------（6分）
当a＞1时，a^x₁-a^x₂＜0，得f（x₁）-f（x₂）＜0，即 f（x₁）＜f（x₂），
这时f（x）在R上是增函数；-------------------------------------------------------------（9分）
当0＜a＜1时，a^x₁-a^x₂＞0，得f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
这时f（x）在R上是减函数．-----------------------------------------（12分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f(x)=ax-1ax+1，其中a＞0且a≠1．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题