函数f（x）为定义在R上的奇函数，当 x∈（0，1）时，f(x)=2x2x+1．（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并证明．试题及答案-单选题-云返教育

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函数f（x）为定义在R上的奇函数，当 x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

2^x+1

．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并证明．

见解析

解：（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，f（-x）=

2^-x

2^-x+1

2^x+1

=-f（x），
∴x∈（-1，0）时，f（x）=-

2^x+1

综上所述，f(x)=

{

f(x)=

2^x

2^x+1

(0＜x＜1)

0 (x=0)

f(x)=-

2^x+1

(-1＜x＜0)

（2）∵当 x∈（0，1）时，f(x)=

2^x

2^x+1

．
∴令0＜x₁＜x₂＜1，可得f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

2^x₁+1

2^x₂

2^x₂+1

2^x₁-2^x₂

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

∵2^x₁-2^x₂＜0，(2^x₁+1)(2^x₂+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．

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