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  • 设f（x）是偶函数，且当x≥0时，f(x)={x(3-x)，0≤x≤3(x-3)(a-x)，x＞3．（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；（2）设函数f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）是偶函数，且当x≥0时，f(x)=
      {
      x(3-x)，0≤x≤3
      (x-3)(a-x)，x＞3
      ．
      （1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
      （2）设函数f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意得，当-3≤x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3），
      同理，当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
      所以，当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=
      {
      -x(x+3)，-3≤x＜0
      -(x+3)(a+x)，x＜-3
      ；
      （2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，
      ①当a≤3时，f（x）在[0，
      3
      2
      ]上单调递增，在[
      3
      2
      ，+∞）上单调递减，
      所以g（a）=f（
      3
      2
      ）=
      9
      4
      ；
      ②当3＜a≤7时，f（x）在[0，
      3
      2
      ]与[3，
      3+a
      2
      ]上单调递增，在[
      3
      2
      ，3]与[
      3+a
      2
      ，5]上单调递减，
      所以此时只需比较f（
      3
      2
      ）=
      9
      4
      与f（
      3+a
      2
      ）=
      (a-3)2
      4
      的大小．
      1°当3＜a≤6时，f（
      3
      2
      ）=
      9
      4
      ≥f（
      3+a
      2
      ）=
      (a-3)2
      4
      ，所以g（a）=f（
      3
      2
      ）=
      9
      4
      ，
      2°当6＜a≤7时，f（
      3
      2
      ）=
      9
      4
      ＜f（
      3+a
      2
      ）=
      (a-3)2
      4
      ，所以g（a）=f（
      3+a
      2
      ）=
      (a-3)2
      4
      ，
      3°当a＞7时，f（x）在[0，
      3
      2
      ]与[3，5]上单调递增，在[
      3
      2
      ，3]上单调递减，
      且f（
      3
      2
      ）=
      9
      4
      ＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5???=2（a-5），
      综上所述，g（a）=
      {
      9
      4
      ，a≤6
      (a-3)2
      4
      ，6＜a≤7
      2(a-5)，a＞7
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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