已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在R上是增函数；（3）若关于x的不等式f（x2-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=ax³+bx²+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10，
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在R上是增函数；
（3）若关于x的不等式f（x²-4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

（1）∵函数f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）即-ax³+bx²-cx=-ax³-bx²-cx
∴2bx²=0对于任意x都成立
即b=0
∵

∴函数的解析式是f（x）=x³+x 5分
（2）证明：设x₁，x₂是R上的任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂，
则△y=f（x₂）-f（x₁）=x₂³+x₂-x₁³-x₁=（x₂-x₁）（x₂²+x₁x₂+x₁²）+（x₂-x₁）
=

∵x₂-x₁＞0，

∴△y＞0
∴函数f（x）在R上是增函数（10分）
（3）∵f（x²-4）+f（kx+2k）＜0
∴f（x²-4）＜-f（kx+2k）=f（-kx-2k）
又因为f（x）是增函数，即x²-4＜-kx-2k
∴x²+kx+2k-4＜0在（0，1）上恒成立．（12分）
法（一）令g（x）=x²+kx+2k-4，x∈（0，1）
则

∴k的取值范围是（-∞，1]14分
法（二）上式可化为k（x+2）＜4-x²
∵x∈（0，1）即x+2＞0∴

令U（x）=2-x，x∈（0，1）
∵U（x）=2-x在（0，1）上是减函数
∴U（x）＜1即k≤1．（14分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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