已知如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2√3，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．试题及答案-解答题-云返教育

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已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

√3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

试题解答

见解析

（1）解：如图作A₁D⊥AC，垂足为D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，
所以∠A₁AD为A₁A与面ABC所成的角．
因为AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
所以∠A₁AD=45°为所求．

（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．
所以∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2

√3

，
所以DE=1，AD=A₁D=

√3

，tan∠A₁ED=

A₁D

√3

．
故∠A₁ED=60°为所求．

（3）解法一：由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足为H，
则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A₁ED=60°
所以CH=BCsin60°=

√3

为所求．
解法二：连接A₁B．
根据定义，点C到面A₁ABB₁的距离，即为三棱锥C-A₁AB的高h．
由V_锥C-A₁AB=V_锥A₁-ABC得

S_△AA₁Bh=

S_△ABCA₁D，
即

×2

√2

×2

√2

√3

所以h=

√3

为所求．

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必修2 人教A版解答题高中数学

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