• 已知如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2√3,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;(2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离.试题及答案-解答题-云返教育

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      已知如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2
      3
      ,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.
      (1)求侧棱A
      1A与底面ABC所成角的大小;
      (2)求侧面A
      1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;
      (3)求顶点C到侧面A
      1ABB1的距离.

      试题解答


      见解析
      (1)解:如图作A1D⊥AC,垂足为D,由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC,
      所以∠A
      1AD为A1A与面ABC所成的角.
      因为AA
      1⊥A1C,AA1=A1C,
      所以∠A
      1AD=45°为所求.

      (2)解:作DE⊥AB,垂足为E,连A
      1E,则由A1D⊥面ABC,得A1E⊥AB.
      所以∠A
      1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角.
      由已知,AB⊥BC,得ED∥BC.
      又D是AC的中点,BC=2,AC=2
      3

      所以DE=1,AD=A
      1D=
      3
      ,tan∠A1ED=
      A1D
      DE
      =
      3

      故∠A
      1ED=60°为所求.

      (3)解法一:由点C作平面A
      1ABB1的垂线,垂足为H,
      则CH的长是C到平面A
      1ABB1的距离.
      连接HB,由于AB⊥BC,得AB⊥HB.
      又A
      1E⊥AB,知HB∥A1E,且BC∥ED,
      所以∠HBC=∠A
      1ED=60°
      所以CH=BCsin60°=
      3
      为所求.
      解法二:连接A
      1B.
      根据定义,点C到面A
      1ABB1的距离,即为三棱锥C-A1AB的高h.
      V锥C-A1AB=V锥A1-ABC
      1
      3
      S△AA1Bh=
      1
      3
      S△ABCA1D,
      1
      3
      ×2
      2
      h=
      1
      3
      ×2
      2
      ×
      3

      所以h=
      3
      为所求.
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