试题  
高中数学
小学

数学 语文 英语

初中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 思品

高中

数学 语文 英语 物理 化学 生物 地理 历史 政治

  • （2010?肥城市模拟）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°．（Ⅰ）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；（Ⅱ）已知点D满足BD=BA+BC，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?肥城市模拟）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，∠A1AC=60°．
      （Ⅰ）求侧棱AA      1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；
      （Ⅱ）已知点D满足
      BD
      =
      BA
      +
      BC
      ，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵侧面A1ACC1⊥底面ABC，作A1O⊥AC于点O，
      ∴A      1O⊥平面ABC．又∠ABC=∠A1AC=60°，且各棱长都相等，
      ∴AO=1，OA      1=OB=
      √3
      ，BO⊥AC．（2分）
      故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则
      A（0，-1，0），B（
      √3
      ，0，0），A1（0，0，
      √3
      ），
      C（0，1，0），
      AA1
      =(0，1，
      √3
      )；
      ∴
      AB
      1
      =(
      √3
      ，2，
      √3
      )，
      AC
      =(0，2，0)．（4分）
      设平面AB      1C的法向量为n=（x，y，1）
      则
      {
      n?
      AB
      1
      =
      √3
      x+2y+
      √3
      n?
      AC
      =2y=0

      解得n=（-1，0，1）．（6分）
      由cos＜
      AA1
      ，n＞=
      AA
      1
      ?n
      |
      AA1
      |?|n|
      =
      √3
      2
      √2
      =
      √6
      4
      ．
      而侧棱AA      1与平面AB1C所成角，
      即是向量
      AA1
      与平面AB1C的法向量所成锐角的余角，
      ∴侧棱AA      1与平面AB1C所成角的正弦值的大小为
      √6
      4
      ．（6分）

      （Ⅱ???∵
      BD
      =
      BA
      +
      BC
      ，
      而
      BA
      =(-
      √3
      ，-1，0)，
      BC
      =(-
      √3
      ，1，0)．
      ∴
      BD
      =(-2
      √3
      ，0，0)．（8分）
      又∵B（
      √3
      ，0，0），∴点D的坐标为D（-
      √3
      ，0，0）．
      假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z）．
      ∴
      DP
      =(
      √3
      ，y，z)
      ∵DP∥平面AB      1C，n=（-1，0，1）为平面AB1C的法向量，
      ∴由
      AP
      =λ
      AA1
      ，得
      {
      y+1=λ
      √3
      =λ
      √3
      ，∴y=0．（11分）
      又DP?平面AB      1C，
      故存在点P，使DP∥平面AB      1C，其坐标为（0，0，
      √3
      ），即恰好为A1点．（12分）
      标签
      必修2人教A版解答题高中数学

    棱柱的结构特征相关试题

    MBTS ©2010-2016 edu.why8.cn