如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=6，M为AA1上的点，且AM=2MA1，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为4√2，设这条最短路线与C1C的交点为N．求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2） PC和NC的长；（3）此棱柱的表面积；（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=6，M为AA₁上的点，且AM=2MA₁，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC₁到M点的最短路线长为4

√2

，设这条最短路线与C₁C的交点为N．求：
（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
（2） PC和NC的长；
（3）此棱柱的表面积；
（4）平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反正切函数表示）．

见解析

解：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面展开图是一个长为9，宽为6的矩形，
其对角线长为

√9²+6²

√117

√13

；（3分）

（2）如图1，将侧面BC₁旋转120°使其与侧面AC₁在同一平面上，点P运动到点P₁的位置，连接MP₁，则MP₁就是由点P沿棱侧面经过CC₁到点M的最短路线．设PC=x，
则P₁C=x，在Rt△MAP₁中，（3+x）²+4²=32?x=1，

P₁C

P₁A

，∴NC=1（6分）
（3）棱柱的表面积为S_表=S_侧+2S_底=6×9+2×

×3²sin60⁰=54+

√3

．（8分）
（4）连接PP₁（如图2），则PP₁就是NMP与平面ABC的交线，作NH⊥PP₁于H，又CC₁⊥平面ABC，连接CH，由三垂线定理得，CH⊥PP₁∴∠NHC所成二面就是平面NMP与平面ABC角的平面角．（10分）
在Rt△PHC中，∵∠PCH=

∠PCP₁=60°，
∴CH=

，在Rt△NCH中tan∠NHC=

，
即∠NHC=arctan

．（12分）

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