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  • 如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．（1）求证：S-ABC为正三棱锥；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
      （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
      （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
      顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
      作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
      因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
      从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
      故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．

      （2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
      所以SO=
      √3
      2
      a，AO=
      1
      2
      a．因O为重心，所以AD=
      3
      2
      AO=
      3
      4
      a，
      BC=2BD=2ADcot60°=
      √3
      2
      a，OD=
      1
      3
      AD=
      1
      4
      a．
      在Rt△SOD中，SD      2=SO2+OD2=（
      √3
      2
      a）2+（
      1
      4
      a）2=
      13
      16
      ，则SD=
      √13
      14
      a．
      于是，（S      S-ABC）全=
      1
      2
      ?（
      √3
      2
      a）2sin60°+3?
      1
      2
      ?
      √13
      4
      a?
      √3
      2
      a=
      3(
      √3
      +
      √39
      )
      16
      a2．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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