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  • （2010?连云港二模）如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?连云港二模）如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
      （1）求三棱锥D-ABC的表面积；
      （2）求证AC⊥平面DEF；
      （3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
      ∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=
      √2
      a．
      设G为CD的中点，则CG=
      1
      2
      a，AG=
      √7
      2
      a．
      ∴      S△ABC=S△ABD=
      1
      2
      a2，S△BCD=
      √3
      4
      a2，S△ACD=
      √7
      4
      a2．
      三棱锥D-ABC的表面积为      S△ACD=
      4+
      √3
      +
      √7
      4
      a2．
      （2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
      ∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
      ∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
      ∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
      ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
      ∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
      ∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
      （3）存在这样的点N，
      当CN=
      3
      8
      CA时，MN∥平面DEF．
      连CM，设CM∩DE=O，连OF．
      由条件知，O为△BCD的重心，CO=
      2
      3
      CM．
      ∴当CF=
      2
      3
      CN时，MN∥OF．∴CN=
      3
      2
      ?
      1
      4
      CA=
      3
      8
      CA．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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