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  • 一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球；求（1）圆锥的侧面积；（2）圆锥的内切球的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球；求
      （1）圆锥的侧面积；
      （2）圆锥的内切球的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（1）如图所示．作轴截面，则等腰三角形CAB内接
      于圆O，而圆O      1内切于△CAB，设圆O的半径为R，
      由题意，得
      4
      3
      πR3=972π，
      ∴R      3=729，R=9∴CE=18；（3分）
      已知CD=16，∴ED=2，
      连接AE，∵CE是直径，∴CA⊥AE，CA      2=CD?CE=18×16=288，
      ∴CA=12
      √2
      ，（5分）
      ∵AB⊥CD，∴AD      2=CD?DE=16×2=32，∴AD=4
      √2
      ，（7分）
      ∴S      侧=πrl=π×4
      √2
      ×12
      √2
      =96π；（8分）

      （2）设内切圆O      1的半径为r
      ∵△ABC的周长为2(12
      √2
      +4
      √2
      )=32
      √2
      ，
      ∴
      1
      2
      r×32
      √2
      =
      1
      2
      ×8
      √2
      ×16，∴r=4；（10分）
      ∴圆锥的内切球O      1的体积V球=
      4
      3
      πr3=
      256
      3
      π．（12分）
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