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  • （本小题满分13分）如图（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分别为AC ,AD ,DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED,如图（乙）．（1）求证：平面FHG//平面ABE；（2）记表示三棱锥B－ACE 的体积，求的最大值；（3）当取得最大值时，求二面角D－AB－C的余弦值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （本小题满分13分）如图（甲），在直角梯形ABED中，AB//DE，ABBE，ABCD,且BC=CD,AB=2,F、H、G分别为AC ,AD ,DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD平面CBED,如图（乙）．
      （1）求证：平面FHG//平面ABE；
      （2）记      表示三棱锥B－ACE 的体积，求的最大值；
      （3）当      取得最大值时，求二面角D－AB－C的余弦值．

      试题解答

      见解析
      本题的考点是面面平行的判断，主要考查证明面面平行，考查几何体的体积，考查二面角的平面角，关键是正确运用面面平行的判定，利用向量法求面面角，关键是求出相应的法向量
      （1）欲证平面FHG∥平面ABE，只需证明线面平行，故只需要在平面FHG中寻找两条相交直线与平面平行；
      （2）由于平面ACD⊥平面CBED 且AC⊥CD，所以AC⊥平面CBED，故可表示三棱锥B-ACE的体积，利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件；
      （3）求解二面角D-AB-C的余弦值，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，分别求出平面ACB的法向???，平面ABD的法向量，利用cosθ可以求解
      解：（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED为正方形
      如图（乙）∵F、H、G分别为AC , AD,DE的中点
      ∴FH//CD, HG//AE-，∵CD//BE ∴FH//BE
      ∵      面，面
      ∴      面，同理可得面
      又∵      ∴平面FHG//平面ABE
      （2）∵平面ACD      平面CBED 且ACCD
      ∴      平面CBED
      ∴      ＝＝
      ∵      ∴（）
      ∴      ＝＝
      ∵      ，令得（不合舍去）或
      当      时，当时
      ∴当      时有最大值，

      (3)：由（2）知当      取得最大值时，即
      BC=      这时AC=，从而
      过点C作CM      AB于M，连结MD
      ∵      ∴面
      ∵      面
      ∴      ∴面
      ∵      面∴
      ∴      是二面角D－AB－C的平面角

      由      得＝
      ∴
      在Rt△MCD中
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      必修2人教A版解答题高中数学

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