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  • 如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．（1）（文???求证AE与PB是异面直线．（理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；（2）求三棱锥A-EBC的体积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，E是PC的中点．
      （1）（文???求证AE与PB是异面直线．
      （理）求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
      （2）求三棱锥A-EBC的体积．

      试题解答

      见解析
      解：（1）（文）证明：假设AE与PB共面，设平面为α，
      ∵A∈α，B∈α，E∈α，
      ∴平面α即为平面ABE，
      ∴P∈平面ABE，
      这与P?平面ABE矛盾，
      所以AE与PB是异面直线．
      （理）取BC的中点F，连???EF、AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．
      ∵∠BAC=60°，PA=AB=AC=2，PA⊥平面ABC，
      ∴AF=
      √3
      ，AE=
      √2
      ，EF=
      √2
      ；
      cos∠AEF=
      2+2-3
      2×
      √2
      ×
      √2
      =
      1
      4
      ，
      所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为
      1
      4
      ．
      （2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为
      1
      2
      PA=1，
      V      A-EBC=VE-ABC=
      1
      3
      ×（
      1
      2
      ×2×2×
      √3
      2
      ）×1=
      √3
      3
      ．
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      必修2人教A版解答题高中数学

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