在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：A1D⊥B1C1；（2）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

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在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：A₁D⊥B₁C₁；
（2）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论．

试题解答

见解析

（1）欲证A₁D⊥B₁C₁，由于BC∥B₁C₁，故只要证A₁D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，进而证得结论；
（2）直线A₁B∥平面ADC₁．欲证A₁B∥平面ADC₁．只需证明DF∥A₁B，连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A₁B，利用线面平行的判定定理可证．

证明：（1）∵点D是正△ABC中BC边的中点，
∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥BC
∵A₁A?平面A₁AD，AD?平面A₁AD，A₁A∩AD=A
∴BC⊥平面A₁AD，
∵A₁D?平面A₁AD，
∴A₁D⊥BC，

∵BC∥B₁C₁，
∴A₁D⊥B₁C₁．
（2）直线A₁B∥平面ADC₁，证明如下：
连接A₁C交AC₁于F，则F为A₁C的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF∥A₁B，
又DF?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．

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在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点．（1）求证：A1D⊥B1C1；（2）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．试题及答案-解答题-云返教育

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